PJJ Matematika: July 2020

Nadya Febriana XI IPS 2

Pembuktian metode langsung

Pembuktian langsung adalah metode pembuktian yang menggunakan alur maju. Mulai dari pendefinisian sampai menghasilkan kesimpulan. Contohnya“kalau A maka B dan kalau B maka C”

atau" jika n bilangan ganjil, maka n² bilangan ganjil."

Bukti : Diketahui bahwa n bilangan ganjil, maka dapat dituliskan n = 2k+1,

dengan k bilangan bulat

sehingga n² = (2k+1) 2 = 4k² + 4k + 1 = 2(2k²+2k) + 1

Bentuk 2(2k²+2k) + 1 adalah bilangan ganjil

Jadi n² bilangan ganjil

Pembuktian metode tak langsung

Pembuktian tak langsung yang dibahas ada 2 cara yaitu :

1. Kontraposisi

Pembuktian tidak langsung kontraposisi digunakan untuk membuktikan pernyataan implikasi

Untuk membuktikan pernyataan implikasi kita cukup membuktikan kontraposisi dari implikasi pernyataan tersebut

Contoh : Buktikan bahwa: “jika n² bilangan ganjil, maka n bilangan ganjil”.

Bukti : Untuk membuktikan pernyataan tersebut kita akan membuktikan kebenaran kontraposisinya

Misalnya : p = n² bilangan ganjil dan q = n bilangan ganjil

Apakah p → q benar ? Kita akan periksa apakah ~q → ~p benar ?

Andaikan n bukan bilangan ganjil, maka n bilangan genap, sehingga n dinyatakan dengan sebagai n = 2k, k bilangan asli.

Akibatnya n² = (2k)² = 4k² = 2(2k²).

Artinya n² bilangan genap.

Jadi pengandaian bahwa n bukan bilangan ganjil adalah BENAR, sehingga kontraposisi ~q→~p juga BENAR.

Jadi implikasi p → q benar , ini berarti n² bilanganganjil maka n adalah bilangan ganjil.

2. Kontradiksi

Pembuktian tidak langsung dengan kontradiksi dilakukan dengan mengandaikan konklusi yang salah dan menemukan suatu hal yang bertentangan dengan fakta, aksioma, atau teorema yang ada. Pengandaian konklusi salah tidak bisa diterima dan akibatnya konklusi yang ada benar berdasarkan premis yang ada

Jika p → q bernilai benar padahal q salah, maka p salah

Contoh : Buktikan bahwa : “Untuk semua bilangan bulat n, jika n² ganjil, maka n ganjil”.

Bukti : Andaikan bahwa q salah, atau ~q benar yaitu n bukan bilangan bulat

ganjil, maka n bilangan bulat genap.

Dapat dimisalkan n = 2k dengan k bilangan bulat.

Dengan demikian maka n² = (2k)² atau n² = 4k²

Ini menunjukkan bahwa n² = bilangan bulat genap (~p)

Terjadilah suatu kontradiksi : yang diketahui p benar, sedangdari langkah-langkah logis diturunkan ~p benar.

Oleh karena itu kontradiksi tidak boleh terjadi, maka pengandaian harus diingkar yang berarti ~q salah atau q benar.

Induksi Matematika

Induksi matematika merupakan materi yang menjadi perluasan dari logika matematika. Logika matematika sendiri mempelajari pernyataan yang bisa bernilai benar atau salah, ekivalen atau ingkaran sebuah pernyataan, dan juga berisi penarikan kesimpulan.

Prinsip Induksi Matematika :

Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan asli n.

Apabila P(1) benar, dan apabila P(k) benar maka P(k+1) juga benar, berakibat P(n) benar untuk semua n.

Contoh : Buktikan bahwa : “1 + 3 + 5 + … + (2n-1) = n², untuk semua bilangan

asli n”.

Bukti : Misalkan P(n) adalah 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1) = n²

P(1) benar, sebab 1 = 1

Bila P(k) benar, yaitu apabila ; 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k-1) = k², maka

1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k-1 + 2k+1= (1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k- 1 + 2k+1.

= k² + 2k + 1

= (k + 1)²

Sehingga P(k+1) benar

Daftarpustaka https://www.google.com/amp/s/blog.ruangguru.com/matematika-kelas-11-pembuktian-matematika%3fhs_amp=true dan http://atikazfblog.blogspot.com/2017/07/logika-matematika-metode-pembuktian.html?m=1

Nadya Febriana XI IPS 2

Pernyataan/Kalimat

Dalam logika matematika, kita belajar untuk mementukan nilai dari suatu pernyataan, baik bernilai benar atau salah, terbagi menjadi 2, yaitu:

Pernyataan tertutup (kalimat tertutup)

Pernyataan tertutup atau kalimat tertutup adalah suatu pernyataan yang sudah memiliki nilai benar atau salah.

Contoh:
“11 adalah bilangan genap”, kalimat tersebut bernilai salah karena yang benar adalah “11 adalah bilangan ganjil”.

Indonesia Raya adalah lagu kebangsaan Indonesia. (pernyataan benar)

Rendang berasal dari aceh. (pernyataan salah)

Pernyataan terbuka (kalimat terbuka)

Pernyataan terbuka atau kalimat terbuka adalah suatu pernyataan yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya karena adanya suatu perubah atau variabel.

Contoh logika matematika:
$p(x): 3x+1 > 6, x \in \mathbb{R}$

Saat $x = 1$ , maka $p(1): 3(1) + 1 > 6$ bernilai salah
Saat $x = 2$ , maka $p(2): 3(2) + 1 > 6$ bernilai benar

12x + 6 = 91 (pernyataan ini dinamakan kalimat terbuka karena masih harus dibuktikan kebenarannya. Apakah benar 12x jika dijumlahkan dengan 6 akan menghasilkan 91?).

ingkaran atau Negasi dari suatu Pernyataan

Ingkaran atau negasi adalah kebalikan nilai dari suatu pernyataan, dimana ketika suatu pernyataan bernilai benar, maka negasinya bernilai salah dan saat suatu pernyataan bernilai salah, negasinya bernilai benar. Ingkaran atau negasi dari pernyataan $p$ dilambangkan dengan $\sim p$ .

a) Pernyataan Kuantor

Pernyataan kuantor adalah bentuk logika matematika berupa pernyataan yang memiliki kuantitas. Dalam pernyataan kuantor, pada umumnya terdapat kata semua, seluruh, setiap, beberapa, ada, dan sebagian.

Kata-kata yang senilai dengan seluruh, semua, setiap termasuk dalam kuantor universal dan kata-kata yang senilai dengan sebagian, beberapa, ada termasuk dalam kuantor eksistensial. Kuantor universal dan kuantor eksistensial saling beringkaran.

*B = pernyataan bernilai benar

S = pernyataan bernilai salah

Artinya, jika suatu pertanyaan (p) benar, maka ingkaran (q) akan bernilai salah. Begitu pula sebaliknya. Berikut adalah contoh dalam matematika:

p: Besi memuai jika dipanaskan (pernyataan bernilai benar)
~p: Besi tidak memuai jika dipanaskan (pernyataan bernilai salah).

Contoh lain:

p: Semua unggas adalah burung.
~p: Ada unggas yang bukan burung.

Pernyataan Majemuk, Bentuk Ekuivalen dan Ingkarannya

Dalam logika matematika, beberapa pernyataan dapat dibentuk menjadi satu pernyataan dengan menggunakan kata penghubung logika seperti dan, atau, maka dan jika dan hanya jika. Pernyataan gabungan tersebut disebut dengan pernyataan majemuk.

Dalam logika matematika, kata hubung tersebur masing-masing memiliki lambang dan istilah sendiri.

kata hubung pernyataan majemuk

a) Konjungsi (^)

tabel kebenaran konjungsi

Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa sifat dari konjungsi adalah bernilai benar jika kedua pernyataan penyusun dari peryataan majemuk keduanya bernilai benar. Konjungsi hanya akan benar jika kedua pernyataan (p dan q) benar.

Contoh:

p: 3 adalah bilangan prima (pernyataan bernilai benar)
q: 3 adalah bilangan ganjil (pernyataan bernilai benar)
p^q: 3 adalah bilangan prima dan ganjil (pernyataan bernilai benar

b) Disjungsi (V)

logika matematika disjungsi

Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa sifat dari disjungsi adalah bernilai salah jika kedua pernyataan penyusun dari peryataan majemuk keduanya bernilai salah. Disjungsi hanya salah jika kedua pernyataan (p dan q) salah.

Contoh:

p: Paus adalah mamalia (pernyataan bernilai benar)
q: Paus adalah herbivora (pernyataan bernilai salah)
pVq: Paus adalah mamalia atau herbivora (pernyataan bernilai benar)

c)Implikasi (->)

Pada sifat implikasi ini, $p \Rightarrow q$ , p disebut sebagai hipotesa dan q sebagai konklusi. Pada implikasi ini akan bernilai salah ketika konklusi salah dan hipotesa benar. Implikasi hanya bernilai salah jika anteseden (p) benar, dan konsekuen (q) salah.

Contoh:

p: Andi belajar dengan aplikasi ruangguru. (pernyataan bernilai benar)
q: Andi dapat belajar di mana saja. (pernyataan bernilai benar)
p->q: Jika Andi belajar dengan aplikasi online, maka Andi dapat belajar di mana saja (pernyataan bernilai benar)

d) Biimplikasi (<->)

tabel biimplikasi

Pada sifat biimplikasi, penyataan majemuk akan bernilai benar jika kedua pernyataan penyusunnya bernilai sama, keduanya benar atau keduanya salah. biimplikasi akan bernilai benar jika sebab dan akibatnya (pernyataan p dan q) bernilai sama.

Contoh:

p: 30 x 2 = 60 (pernyataan bernilai benar)
q: 60 adalah bilangan ganjil (pernyataan bernilai salah)
p<->q: 30 x 2 = 60 jika dan hanya jika 60 adalah bilangan ganjil (pernyataan bernilai salah).

Bentuk Ekuivalen Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk yang memiliki nilai sama untuk semau kemungkinannya dikatakan ekuivalen. Notasi ekuivalen dalam logika matematika adalah “ $\equiv$ “.

Bentuk-bentuk pernyataan yang saling ekuivalen adalah:

bentuk ekuivalen tabel kebenaran

Konvers, Invers dan Kontraposisi

Konvers, invers dan kontraposisi adalah bentuk lain dari implikasi, dimana:

Konvers dari $p \Rightarrow q$ adalah $q \Rightarrow p$

Invers dari $p \Rightarrow q$ adalah $\sim p \Rightarrow \sim q$

Kontraposisi dari $p \Rightarrow q$ adalah $\sim q \Rightarrow \sim p$

Penarikan Kesimpulan (Logika Matematika)

Penarikan kesimpulan adalah konklusi dari beberapa pernyataan majemuk (premis) yang saling terkait. Dalam penarikan kesimpulan terdiri dari beberapa cara, yaitu:

penarikan kesimpulan logika matematika

Soal logika matematika :
Premis 1 : Jika Ani nakal, maka Ibu marah
Premis 2 : Jika Ibu marah, maka Ani tidak dapat uang saku
Kesimpulan dari kedua premis diatas adalah …

Jawab:
Premis 1               : $p \Rightarrow q$
Premis 2               : $q \Rightarrow r$
Kesimpulan          : $p \Rightarrow r$ (silogisme)
Jadi kesimpulannya adalah Jika Ani nakal, maka Ani tidak dapat uang saku.

a) Modus ponens

premis 1: p → q

premis 2: p

kesimpulan: q

b) Modus tollens

premis 1: p → q

premis 2: ~q

kesimpulan: ~p

c) Silogisme

premis 1: p → q

premis 2: q → r

kesimpulan: p → r

PJJ Matematika

Saturday, July 25, 2020

Pembuktian Matematika

Nadya Febriana XI IPS 2

Pembuktian metode langsung

Pembuktian metode tak langsung

Induksi Matematika

Sunday, July 12, 2020

Logika Matematika

Nadya Febriana XI IPS 2

Pernyataan/Kalimat

ingkaran atau Negasi dari suatu Pernyataan

Pernyataan Majemuk, Bentuk Ekuivalen dan Ingkarannya

Bentuk Ekuivalen Pernyataan Majemuk

Konvers, Invers dan Kontraposisi

Penarikan Kesimpulan (Logika Matematika)

a) Modus ponens

b) Modus tollens

c) Silogisme