Sunday, July 12, 2020

Logika Matematika

Nadya Febriana XI IPS 2

Pernyataan/Kalimat

Dalam logika matematika, kita belajar untuk mementukan nilai dari suatu pernyataan, baik bernilai benar atau salah, terbagi menjadi 2, yaitu:

  1. Pernyataan tertutup (kalimat tertutup)

Pernyataan tertutup atau kalimat tertutup adalah suatu pernyataan yang sudah memiliki nilai benar atau salah.

Contoh:
“11 adalah bilangan genap”, kalimat tersebut bernilai salah karena yang benar adalah “11 adalah bilangan ganjil”.

Indonesia Raya adalah lagu kebangsaan Indonesia. (pernyataan benar)

Rendang berasal dari aceh. (pernyataan salah)


  1. Pernyataan terbuka (kalimat terbuka)

Pernyataan terbuka atau kalimat terbuka adalah suatu pernyataan yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya karena adanya suatu perubah atau variabel.

Contoh logika matematika:
p(x): 3x+1 > 6, x \in \mathbb{R}

Saat x = 1, maka p(1): 3(1) + 1 > 6 bernilai salah
Saat x = 2, maka p(2): 3(2) + 1 > 6 bernilai benar

12x + 6 = 91 (pernyataan ini dinamakan kalimat terbuka karena masih harus dibuktikan kebenarannya. Apakah benar 12x jika dijumlahkan dengan 6 akan menghasilkan 91?).


ingkaran atau Negasi dari suatu Pernyataan

Ingkaran atau negasi adalah kebalikan nilai dari suatu pernyataan, dimana ketika suatu pernyataan bernilai benar, maka negasinya bernilai salah dan saat suatu pernyataan bernilai salah, negasinya bernilai benar. Ingkaran atau negasi dari pernyataan pdilambangkan dengan \sim p.

a) Pernyataan Kuantor

Pernyataan kuantor adalah bentuk logika matematika berupa pernyataan yang memiliki kuantitas. Dalam pernyataan kuantor, pada umumnya terdapat kata semua, seluruh, setiap, beberapa, ada, dan sebagian.

Kata-kata yang senilai dengan seluruh, semua, setiap termasuk dalam kuantor universal dan kata-kata yang senilai dengan sebagian, beberapa, ada termasuk dalam kuantor eksistensial. Kuantor universal dan kuantor eksistensial saling beringkaran.

ingkaran.png

*B = pernyataan bernilai benar

S = pernyataan bernilai salah

Artinya, jika suatu pertanyaan (p) benar, maka ingkaran (q) akan bernilai salah. Begitu pula sebaliknya. Berikut adalah contoh dalam matematika:

  • p: Besi memuai jika dipanaskan (pernyataan bernilai benar)
  • ~p: Besi tidak memuai jika dipanaskan (pernyataan bernilai salah).

Contoh lain:

  • p: Semua unggas adalah burung.
  • ~p: Ada unggas yang bukan burung.

Pernyataan Majemuk, Bentuk Ekuivalen dan Ingkarannya

Dalam logika matematika, beberapa pernyataan dapat dibentuk menjadi satu pernyataan dengan menggunakan kata penghubung logika seperti dan, atau, maka dan jika dan hanya jika. Pernyataan gabungan tersebut disebut dengan pernyataan majemuk.

Dalam logika matematika, kata hubung tersebur masing-masing memiliki lambang dan istilah sendiri.

kata hubung pernyataan majemuk

a) Konjungsi  (^)

tabel kebenaran konjungsi

Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa sifat dari konjungsi adalah bernilai benar jika kedua pernyataan penyusun dari peryataan majemuk keduanya bernilai benar. Konjungsi hanya akan benar jika kedua pernyataan (p dan q) benar.

Contoh:

  • p: 3 adalah bilangan prima (pernyataan bernilai benar)
  • q: 3 adalah bilangan ganjil (pernyataan bernilai benar)
  • p^q: 3 adalah bilangan prima dan ganjil (pernyataan bernilai benar
b) Disjungsi (V)

logika matematika disjungsi

Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa sifat dari disjungsi adalah bernilai salah jika kedua pernyataan penyusun dari peryataan majemuk keduanya bernilai salah. Disjungsi hanya salah jika kedua pernyataan (p dan q) salah.

Contoh:

  • p: Paus adalah mamalia (pernyataan bernilai benar)
  • q: Paus adalah herbivora (pernyataan bernilai salah)
  • pVq: Paus adalah mamalia atau herbivora (pernyataan bernilai benar)
c)Implikasi (->)
tabel implikasi
Pada sifat implikasi ini, p \Rightarrow q, p disebut sebagai hipotesa dan q sebagai konklusi. Pada implikasi ini akan bernilai salah ketika konklusi salah dan hipotesa benar. Implikasi hanya bernilai salah jika anteseden (p) benar, dan konsekuen (q) salah.

Contoh:

  • p: Andi belajar dengan aplikasi ruangguru. (pernyataan bernilai benar)
  • q: Andi dapat belajar di mana saja. (pernyataan bernilai benar)
  • p->q: Jika Andi belajar dengan aplikasi online, maka Andi dapat belajar di mana saja (pernyataan bernilai benar)

d) Biimplikasi (<->)

tabel biimplikasi

Pada sifat biimplikasi, penyataan majemuk akan bernilai benar jika kedua pernyataan penyusunnya bernilai sama, keduanya benar atau keduanya salah. biimplikasi akan bernilai benar jika sebab dan akibatnya (pernyataan p dan q) bernilai sama.

Contoh:

  • p: 30 x 2 = 60 (pernyataan bernilai benar)
  • q: 60 adalah bilangan ganjil (pernyataan bernilai salah)
  • p<->q: 30 x 2 = 60 jika dan hanya jika 60 adalah bilangan ganjil (pernyataan bernilai salah).

Bentuk Ekuivalen Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk yang memiliki nilai sama untuk semau kemungkinannya dikatakan ekuivalen. Notasi ekuivalen dalam logika matematika adalah “\equiv“.

Bentuk-bentuk pernyataan yang saling ekuivalen adalah:

bentuk ekuivalen tabel kebenaran


Konvers, Invers dan Kontraposisi

Konvers, invers dan kontraposisi adalah bentuk lain dari implikasi, dimana:

Konvers dari p \Rightarrow q adalah q \Rightarrow p

Invers dari p \Rightarrow q adalah \sim p \Rightarrow \sim q

Kontraposisi dari p \Rightarrow q adalah \sim q \Rightarrow \sim p


Penarikan Kesimpulan (Logika Matematika)

Penarikan kesimpulan adalah konklusi dari beberapa pernyataan majemuk (premis) yang saling terkait. Dalam penarikan kesimpulan terdiri dari beberapa cara, yaitu:

penarikan kesimpulan logika matematika

Soal logika matematika :
Premis 1 : Jika Ani nakal, maka Ibu marah
Premis 2   : Jika Ibu marah, maka Ani tidak dapat uang saku
Kesimpulan dari kedua premis diatas adalah …

Jawab:
Premis 1               : p \Rightarrow q
Premis 2               : q \Rightarrow r
Kesimpulan          : p \Rightarrow r(silogisme)
Jadi kesimpulannya adalah Jika Ani nakal, maka Ani tidak dapat uang saku.

a) Modus ponens

premis 1: p → q
premis 2: p
kesimpulan: q

b) Modus tollens

premis 1: p → q
premis 2: ~q
kesimpulan: ~p

c) Silogisme

premis 1: p → q
premis 2: q → r
kesimpulan: p → r

Posted by at

No comments:

Post a Comment

Subscribe to: Post Comments (Atom)