Pembuktian Matematika

Nadya Febriana XI IPS 2

Pembuktian metode langsung

Pembuktian langsung adalah metode pembuktian yang menggunakan alur maju. Mulai dari pendefinisian sampai menghasilkan kesimpulan. Contohnya“kalau A maka B dan kalau B maka C”

atau" jika n bilangan ganjil, maka n²  bilangan ganjil."

Bukti : Diketahui bahwa n bilangan ganjil, maka dapat dituliskan n = 2k+1,

     dengan k bilangan bulat

     sehingga  n² = (2k+1) 2 = 4k² + 4k + 1 = 2(2k²+2k) + 1

     Bentuk 2(2k²+2k) + 1 adalah bilangan ganjil

     Jadi n² bilangan ganjil

Pembuktian metode tak langsung

Pembuktian tak langsung yang dibahas ada 2 cara yaitu : 

    1. Kontraposisi

Pembuktian tidak langsung kontraposisi digunakan untuk membuktikan pernyataan implikasi

Untuk membuktikan pernyataan implikasi kita cukup membuktikan kontraposisi dari implikasi pernyataan tersebut

                                              

Contoh : Buktikan bahwa: “jika n² bilangan ganjil, maka n bilangan ganjil”.

Bukti : Untuk membuktikan pernyataan tersebut kita akan membuktikan kebenaran kontraposisinya 

    Misalnya : p = n² bilangan ganjil dan q = n bilangan ganjil

    Apakah p → q benar ? Kita akan periksa apakah ~q → ~p benar ?

    Andaikan n bukan bilangan ganjil, maka n bilangan genap, sehingga n dinyatakan dengan sebagai n = 2k, k bilangan asli.

    Akibatnya n² = (2k)² = 4k² = 2(2k²).

    Artinya n²  bilangan genap.

    Jadi pengandaian bahwa n bukan bilangan ganjil adalah BENAR, sehingga kontraposisi ~q→~p juga BENAR.

Jadi implikasi p → q benar , ini berarti n² bilanganganjil maka n adalah bilangan ganjil.

2. Kontradiksi

Pembuktian tidak langsung dengan kontradiksi dilakukan dengan mengandaikan konklusi yang salah dan menemukan suatu hal yang bertentangan dengan fakta, aksioma, atau teorema yang ada. Pengandaian konklusi salah tidak bisa diterima dan akibatnya konklusi yang ada benar berdasarkan premis yang ada

                                  Jika p → q bernilai benar padahal q salah, maka p salah

Contoh : Buktikan bahwa : “Untuk semua bilangan bulat n, jika n² ganjil, maka n ganjil”.

Bukti : Andaikan bahwa q salah, atau ~q benar yaitu n bukan bilangan bulat

ganjil, maka n bilangan bulat genap.

Dapat dimisalkan n = 2k dengan k bilangan bulat.

Dengan demikian maka n² = (2k)² atau n² = 4k²

Ini menunjukkan bahwa  n² = bilangan bulat genap (~p)

Terjadilah suatu kontradiksi : yang diketahui p benar, sedangdari langkah-langkah logis diturunkan ~p benar.

Oleh karena itu kontradiksi tidak boleh terjadi, maka pengandaian harus diingkar yang berarti ~q salah atau q benar.

Induksi Matematika

Induksi matematika merupakan materi yang menjadi perluasan dari logika matematika. Logika matematika sendiri mempelajari pernyataan yang bisa bernilai benar atau salah, ekivalen atau ingkaran sebuah pernyataan, dan juga berisi penarikan kesimpulan.

Prinsip Induksi Matematika :

Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan asli n.

Apabila P(1) benar, dan apabila P(k) benar maka P(k+1) juga benar, berakibat P(n) benar untuk semua n.

Contoh : Buktikan bahwa : “1 + 3 + 5 +  … + (2n-1) = n², untuk semua bilangan

                 asli n”.

Bukti : Misalkan P(n) adalah 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1) = n²

P(1) benar, sebab 1 = 1

Bila P(k) benar, yaitu apabila ; 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k-1) = k², maka

1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k-1 + 2k+1= (1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k- 1 + 2k+1.

= k² + 2k + 1

= (k + 1)²

Sehingga P(k+1) benar

Daftarpustaka https://www.google.com/amp/s/blog.ruangguru.com/matematika-kelas-11-pembuktian-matematika%3fhs_amp=true dan http://atikazfblog.blogspot.com/2017/07/logika-matematika-metode-pembuktian.html?m=1