PJJ Matematika: February 2021

Tuesday, February 16, 2021

PTS Matematika 16 Februari 2021

NADYA FEBRIANA (25) XI IPS 2

Soal

JAWABAN

a) 0 m/s

b) v(t) = 5t - 1/2 t^2

a(t) = 5 - t

a(3) = 5 - 3

a(3) = 2

percepatan pada saat t mendekati 3 detik 2 m/s^2

SOAL

JAWABAN

1. f(x)=(2x+3)³

=(2x+3)(2x+3)(2x+3)
=(4x²+12x+9)(2x+3)
=(8x³+36x²+54x+27)

f'(x) =24x²+72x+54

3. turunan pertama dari f(x)=(2-6x)³ adalah

f(x) = (2 - 6x)^3
f'(x) = 3 . (2 - 6x)^2 . (-6)
f'(x) = -18 . (2 - 6x)^2

10.

SOAL

JAWABAN

1. Lim = 2x + 3 x²

X →2

= 2(2) + 3(2)²

= 4 + 3(4)

= 4 + 12

= 16

2. Lim = (x²-5)³

X →-3

= ((-3)²- 5)²

= (9-5)³

= 4³

= 64

9. nilai lim x mendekati a (f(x)+ 1 )² - 3f(x) adalah

langsung ganti f(x) jadi p

maka
(p + 1)² - 3p = p² + 2p + 1 - 3p = p² - p + 1

10. Lim 2x² - x - 3 per 3x² + 8x + 5 x->1

lim x->1 (x+1) (2x-3) / (x+1) (3x+5)

= lim x->1 (2x-3) / (3x+5) = -1/8

SOAL

JAWABAN

2. L persegi = s²

f(x) = axn

f'(x) = nxn-1

f (x) = x²

f'(x) = 2x 2-1 =2x

x = 6

f'(6) = 2.6

=12

3. Diketahui:

P (t) = 10³ .t² - 5 .10² .t + 10^6

Ditanya:

Laju pertumbuhan penduduk 5 tahun mendatang = ?

Jawab:

Laju perubahan pada t = 5 dihitung dengan p' (5)

P (t) = 10³ .t² - 5 .10² .t + 10^6

P' (t) = 2 . 10³ . t - 5 .10²

P' (5) = 2 . 10³ (5) - 5 . 10²

= 10 . 10³ - 5 .10²

= 10.000 - 500

= 9.500. penduduk

Jadi, laju pertumbuhan penduduk 5 tahun mendatang adalah *9.500. penduduk*

4. n = 2m - 40

p = m² + n²

= m² + (2m - 40)²

= 5m² - 160m + 1600

minimum saat p' = 0

10m - 160 = 0

m = 16

n = 32 - 40 = - 8

maka nilai minimumnya:

p = 16² + (-8)² = 256 + 64 = 320

5. Diberikan fungsi f(x) = ax² + bx+ c. Jika f'(0) = 2 dan f(2) = 6. Tentukan nilai a, b, dan c!

Jawab :

• f'(x) = 2ax + b

2 = 2a(0) + b

2 = 2+b

b = 0

• f(2) = a(2)²+ b(2) + c

6 = 2a² + 2b + c

6 = 2a² + c

c = 6 - 2a²

a² = c/2 - 3

a = c/2 / ½ - 3/½

Jadi, a = c/2 / ½ - 3/½, b= 0, dan c = 6 - 2a²

Monday, February 8, 2021

NILAI STASIONER, FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

Nadya Febriana XI IPS 2

Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Secara al-jabar pengertian fungsi naik dan fungsi turun adalah sebagai berikut:

Fungsi y = f(x) dikatakan naik pada interval a < x < b, apabila untuk setiap pasangan x₁ dan x₂ dalam interval a < x < b, dengan x₁ < x₂ berlaku f(x₁) < f(x₂).

Fungsi y = f(x) dikatakan turun pada interval a < x < b, apabila untuk setiap pasangan x₁ dan x₂ dalam interval a < x < b, dengan x₁ < x₂ berlaku f(x₁) > f(x₂).

secara geometris turunan pertama pada suatu titik tertentu dapat ditafsirkan sebagai gradien garis singgung kurva pada titik tersebut. Jika garis singgung condong ke kanan maka gradiennya akan bernilai positif atau ƒ′(x₀) > 0 sedangkan jika garis singgung condong ke kiri maka gradiennya akan bernilai negatif atau ƒ′(x₀) < 0

Perhatikan bahwa jika fungsi naik, maka garis-garis singgung pada interval tersebut akan condong ke kanan, dan jika fungsi turun, maka garis-garis singgung pada interval tersebut akan condong ke kiri.

Contoh Soal:

1. Interval x yangmembuat kurva fungsi f(x)=x3−6x2+9x+2 selalu turun adalah

Diketahui

f(x)=x3−6x2+9x+2, sehingga turunan pertamanya adalah

f′(x)=3x2−12x+9.

Kurva f(x) selalu turun jika diberi syarat f′(x)<0.

3x2−12x+9<0

Kedua ruas dibagi dengan 3

x2−4x+3<0

(x−3)(x−1)<0

∴1<x<3

Jadi, interval x yang membuat kurva fungsi

f(x) selalu turun adalah 1<x<3

2. Grafik fungsi

p(x)=x(6−x)2tidak pernah turun dalam interval

Diketahui

p(x)=x(6−x)2. Turunan pertama p(x)dapat dicari secara manual dengan menjabarkan seperti berikut (pangkatnya masih kecil, sehingga masih sangat memungkinkan untuk dijabarkan).

p(x)=x(6−x)2

=x(36−12x+x2)

=36x−12x2+x3

p′(x)=36−24x+3x2

Grafik fungsi

p(x)tidak pernah turun jika diberi syarat p′(x)≥0.

36−24x+3x2≥0 Keduaruas dibagi dengan

3x2−8x+12≥0

(x−2)(x−6)≥0

∴x≤2ataux≥6

Jadi, interval x yang membuat grafik fungsi p(x) tidak pernah turun adalah x ≤ 2 dan x ≥ 6

Nilai stasioner

aDlam hal khusus, apabila f'(x₀) = 0 maka f(x) disebut stasioner di titik = x = x₀, nilai f(x₀) karena hal tersebut disebut nilai stasioner f(x) pada x = x₀, dan titik (x₀, f(x₀)) disebut titik stasioner.

Contoh soal :

f(x) = 3x2 – 6x + 5 → f '(x) =6x – 6

Nilai stasioner diperoleh jika f '(x) = 0 sehingga :

f '(x) = 0

6x – 6 = 0

x = 1.

f(1) = 3.12 – 6. 1 + 5 = 2

Jadi, nilai stasioner f(x) = 3x2 – 6x + 5 adalah f(1) = 2

SUMBER:

buku cetak PKS matematika wajib kelas 11

mathcyber1997.com

Monday, February 1, 2021

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA DAN GARIS NORMAL

Nadya Febriana XI IPS 2

Perhatikan gambar berikut ini:

Garis Singgung & Garis Normal

Garis singgung bergradien m, jika titik yang dilaluinya adalah titik singgung A(x1,y1) maka persamaan garis singgungnya adalah

Persamaan garis normal bergradien -1/m dan melalui A(x1,y1)

Untuk memperjelas persamaan garis singgung dan garis normal, ikuti simulasi berikut ini:

Apakah Anda sudah memahami persamaan garis singgung dan persamaan garis normal di titik tertentu pada kurva? Jika belum, Anda dapat mengamati kembali animasi tentang persamaan garis singgung dan persamaan garis normal. Selanjutnya, cobalah pahami contoh persamaan garis singgung dan garis normal berikut ini.

Contoh

Tentukan Persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva y = x4 - 7x2 + 20 di titik yang berabsis 2 adalah...

Jawab :

x = 2 y = x4 - 7x2 + 20 ⟶ y = 24 - 7.22 + 20 = 16 - 28 + 20 = 8 titik singgung A(2,8)

Persamaan Garis singgung

m = y' = 4x3 - 14 x = 4.23 - 14.2 = 32 - 28 = 4 , gradien, m = 4 melalui A(2,8)

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah

y - y1 = m(x - x1)

y - 8 = 4(x - 2)

y - 8 = 4x - 8

y = 4x ⟶ Persamaan garis singgung

Persamaan garis normal

gradien garis singgung , m = 4, gradien garis normal m2 = - 1/4

Garis normal bergardien m2 = - 1/4 melalui A(2,8)

Jadi, persamaan garis Normalnya adalah

y - y1 = m2(x - x1)

y - 8 = - 1/4(x - 2) kalikan 4

4y - 32 = -x +2

x + 4y = 34 ⟶ Persamaan garis normal

2. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 di titik (-1, 1)!

Jawab:

Cari gradien dari kurva y dengan menggunakan turunan pertama. m = y’

m = f '(a)

= 2x

m = 2(-1)

= -2

Maka persamaan garis singgung kurva dengan gradient m = -2 di titik (-1, 1) adalah

y -y1 = m(x -x1)

y -1 = -2(x-(-1))

y -1 = -2x -2

y = -2x -1

contoh soal :

Soal Nomor 1
Grafik fungsi $f (x) = x^{2} - 4 x + 5$ menyinggung garis $g$ di $x = - 1$ . Gradien garis $g$ adalah $\dots \cdot$
A. $- 8$ C. $- 2$ E. $6$
B. $- 6$ D. $4$

Pembahasan

Diketahui $f (x) = x^{2} - 4 x + 5$ .
Turunan pertama dari fungsi $f (x)$ adalah $f^{'} (x) = 2 x - 4$ .
Gradien garis singgung $g$ diperoleh saat $x = - 1$ , yaitu
$m = f^{'} (- 1) = 2 (- 1) - 4 = - 6$
Jadi, gradien garis $g$ adalah $- 6$
(Jawaban B) Soal Nomor 3

Jika garis $l$ menyinggung kurva dengan persamaan $y = x^{3} - 5 x^{2} + 7$ di titik $(1, 3)$ , maka persamaan garis $l$ adalah $\dots \cdot$
A. $10 x + y - 7 = 0$
B. $7 x + y - 10 = 0$
C. $7 x + y - 2 = 0$
D. $5 x + y - 7 = 0$
E. $x - y - 5 = 0$

Pembahasan

Diketahui $y = x^{3} - 5 x^{2} + 7$ .
Turunan pertama dari $y$ adalah $y^{'} = 3 x^{2} - 10 x$ .
Karena titik singgungnya di $(1, 3)$ , maka gradien garis singgung $l$ diperoleh saat $x = 1$ , yaitu
$m = y_{x = 1}^{'} = 3 (1)^{2} - 10 (1) = - 7$
Persamaan garis yang bergradien $m = - 7$ dan melalui titik $(x_{1}, y_{1}) = (1, 3)$ adalah
$\begin{aligned} y - y_{1} & = m (x - x_{1}) \\ y - 3 & = - 7 (x - 1) \\ y - 3 & - 7 x + 7 \\ 7 x + y - 10 & = 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis $l$ adalah $7 x + y - 10 = 0$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 4
Persamaan garis singgung kurva dengan persamaan $y = (x^{2} + 1)^{2}$ di titik dengan absis $x = 1$ adalah $\dots \cdot$
A. $y = 8 x + 10$
B. $y = 8 x + 8$
C. $y = 8 x + 4$
D. $y = 8 x - 4$
E. $y = 8 x - 10$

Pembahasan

Diketahui $y = (x^{2} + 1)^{2}$ .
Titik singgung berabsis $x = 1$ , sehingga $y = ((1)^{2} + 1)^{2} = (2)^{2} = 4$ . Jadi, koordinat titik singgung di $(1, 4)$ .
Turunan pertama dari $y$ dapat ditentukan dengan menggunakan aturan rantai (atau bisa juga dengan dijabarkan lebih dulu), yaitu
$y^{'} = 2 (x^{2} + 1) (\underset{y}{\underset{⏟}{2 x}}) = 4 x (x^{2} + 1)$
Karena titik singgungnya berabsis $x = 1$ , maka gradien garis singgungnya diperoleh saat $x = 1$ , yaitu
$m = y_{x = 1}^{'} = 4 (1) ((1)^{2} + 1) = 4 (2) = 8$
Persamaan garis yang bergradien $m = 8$ dan melalui titik $(x_{1}, y_{1}) = (1, 4)$ adalah
$\begin{aligned} y - y_{1} & = m (x - x_{1}) \\ y - 4 & = 8 (x - 1) \\ y - 4 & = 8 x - 8 \\ y & = 8 x - 4 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $y = 8 x - 4$
(Jawaban D)

DAftar pustaka :https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-persamaan-garis-singgung-menggunakan-turunan/

https://sumber.belajar.kemdikbud.go.id/repos/FileUpload/Garis%20Singgung%20Garis%20Normal-BB/Topik-2.html