PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA DAN GARIS NORMAL

Nadya Febriana XI IPS 2

 

Perhatikan gambar berikut ini:

Garis Singgung & Garis Normal

Garis singgung bergradien m, jika titik yang dilaluinya adalah titik singgung A(x1,y1) maka persamaan garis singgungnya adalah

Persamaan garis normal bergradien -1/m dan melalui A(x1,y1)

Untuk memperjelas persamaan garis singgung dan garis normal, ikuti simulasi berikut ini:

Apakah Anda sudah memahami persamaan garis singgung dan persamaan garis normal di titik tertentu pada kurva? Jika belum, Anda dapat mengamati kembali animasi tentang persamaan garis singgung dan persamaan garis normal. Selanjutnya, cobalah pahami contoh persamaan garis singgung dan garis normal berikut ini.

Contoh

 

• Tentukan Persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva y = x4 - 7x2 + 20 di titik yang berabsis 2 adalah...

 

Jawab :

 

x = 2 y = x4 - 7x2 + 20 ⟶  y = 24 - 7.22 + 20 = 16 - 28 + 20 = 8 titik singgung A(2,8)

 

Persamaan Garis singgung

 

m = y' = 4x3 - 14 x = 4.23 - 14.2 = 32 - 28 = 4 , gradien, m = 4 melalui A(2,8)

 

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah

 

                      y - y1 = m(x - x1)

 

                        y - 8 = 4(x - 2)

 

                        y - 8 = 4x - 8

 

                            y = 4x ⟶ Persamaan garis singgung

 

Persamaan garis normal

 

gradien garis singgung , m = 4, gradien garis normal m2 = - 1/4

 

Garis normal bergardien m2 = - 1/4  melalui A(2,8)

 

Jadi, persamaan garis Normalnya adalah

 

                      y - y1 = m2(x - x1)

 

                        y - 8 = - 1/4(x - 2) kalikan 4

 

                     4y - 32 = -x +2

 

                      x + 4y = 34 ⟶ Persamaan garis normal

2. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 di titik (-1, 1)!

 

Jawab:

 

Cari gradien dari kurva y dengan menggunakan turunan pertama. m = y’

 

m = f '(a)

= 2x

m = 2(-1)

= -2

 

Maka persamaan garis singgung kurva dengan gradient m = -2 di titik (-1, 1) adalah

 

y -y1 = m(x -x1)

y -1 = -2(x-(-1))

y -1 = -2x -2

y = -2x -1

contoh soal : 

Soal Nomor 1
Grafik fungsi $f\left(x\right)=x^2-4x+5$ menyinggung garis $g$ di $x=-1$. Gradien garis $g$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-8$                    C. $-2$                   E. $6$
B. $-6$                    D. $4$

Pembahasan

Diketahui $f\left(x\right)=x^2-4x+5$.
Turunan pertama dari fungsi $f\left(x\right)$ adalah $f^{\prime }\left(x\right)=2x-4$.
Gradien garis singgung $g$ diperoleh saat $x=-1$, yaitu
$m=f^{\prime }(-1)=2(-1)-4=-6$
Jadi, gradien garis $g$ adalah $-6$
(Jawaban B) Soal Nomor 3

Jika garis $l$ menyinggung kurva dengan persamaan $y=x^3-5x^2+7$ di titik $(1,3)$, maka persamaan garis $l$ adalah $\cdots \cdot$
A. $10x+y-7=0$
B. $7x+y-10=0$
C. $7x+y-2=0$
D. $5x+y-7=0$
E. $x-y-5=0$

Pembahasan

Diketahui $y=x^3-5x^2+7$.
Turunan pertama dari $y$ adalah $y^{\prime }=3x^2-10x$.
Karena titik singgungnya di $(1,3)$, maka gradien garis singgung $l$ diperoleh saat $x=1$, yaitu
$m=y_{x=1}^{\prime }=3(1{)}^2-10(1)=-7$
Persamaan garis yang bergradien $m=-7$ dan melalui titik $(x_1,y_1)=(1,3)$ adalah
$\begin{array}{cc}y-y_1& =m(x-x_1)\\ y-3& =-7(x-1)\\ y-3& -7x+7\\ 7x+y-10& =0\end{array}$
Jadi, persamaan garis $l$ adalah $7x+y-10=0$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 4
Persamaan garis singgung kurva dengan persamaan $y=(x^2+1{)}^2$ di titik dengan absis $x=1$ adalah $\cdots \cdot$
A. $y=8x+10$
B. $y=8x+8$
C. $y=8x+4$
D. $y=8x-4$
E. $y=8x-10$

Pembahasan

Diketahui $y=(x^2+1{)}^2$.
Titik singgung berabsis $x=1$, sehingga $y=\left(\right(1{)}^2+1{)}^2=(2{)}^2=4$. Jadi, koordinat titik singgung di $(1,4)$.
Turunan pertama dari $y$ dapat ditentukan dengan menggunakan aturan rantai (atau bisa juga dengan dijabarkan lebih dulu), yaitu
$y^{\prime }=2(x^2+1)\left(\underset{y}{\underset{}{2x}}\right)=4x(x^2+1)$
Karena titik singgungnya berabsis $x=1$, maka gradien garis singgungnya diperoleh saat $x=1$, yaitu
$m=y_{x=1}^{\prime }=4\left(1\right)\left(\right(1{)}^2+1)=4(2)=8$
Persamaan garis yang bergradien $m=8$ dan melalui titik $(x_1,y_1)=(1,4)$ adalah
$\begin{array}{cc}y-y_1& =m(x-x_1)\\ y-4& =8(x-1)\\ y-4& =8x-8\\ y& =8x-4\end{array}$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $y=8x-4$
(Jawaban D)

DAftar pustaka :https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-persamaan-garis-singgung-menggunakan-turunan/

https://sumber.belajar.kemdikbud.go.id/repos/FileUpload/Garis%20Singgung%20Garis%20Normal-BB/Topik-2.html