Nadya Febriana XI IPS 2
Diferensial
Metode Newton merupakan contoh penggunaan garis singgung untuk memperkirakan grafik suatu fungsi. Pada bagian ini, kita akan belajar situasi lain sedemikian sehingga grafik suatu fungsi dapat diperkirakan dengan suatu garis lurus.
Pertama, perhatikan suatu fungsi f yang terdiferensialkan pada c. Persamaan garis singgung fungsi tersebut pada titik (c, f(c)) adalah
dan disebut sebagai pendekatan garis singgung (atau pendekatan linear) f pada c. Karena c merupakan suatu konstanta, maka y merupakan fungsi linear terhadap x. Selain itu, dengan membatasi nilai x sehingga cukup dekat dengan c, maka nilai y dapat digunakan untuk memperkirakan (ke dalam derajat ketelitian yang ditentukan) nilai fungsi f. Dengan kata lain, jika x mendekati c, maka limit y adalah f(c).
Contoh 1: Menggunakan Pendekatan Garis Singgung
Tentukan pendekatan garis singgung f(x) = 1 + sin x pada titik (0, 1). Kemudian gunakan tabel untuk membandingkan nilai y fungsi linear dengan f(x) pada selang buka yang memuat x = 0.
Pembahasan Turunan f adalah
Sehingga, persamaan garis singgung grafik f pada titik (0, 1) adalah
Tabel di bawah membandingkan nilai-nilai y hasil perkiraan linear dengan nilai-nilai f(x) yang dekat dengan x = 0. Perhatikan bahwa semakin dekat x ke 0, maka diperoleh perkiraan yang semakin baik. Kesimpulan ini dipertegas oleh grafik di bawahnya.
Catatan Pastikan kita dapat melihat bahwa perkiraan linear f(x) = 1 + sin x ini bergantung pada titik di mana garis singgung bersinggungan dengan grafik f. Pada titik yang berbeda, kita akan mendapatkan pendekatan garis singgung yang berbeda.
Penerapan Turunan: Metode Newton
Pada pembahasan ini, kita akan mempelajari suatu teknik untuk mendekati pembuat nol suatu fungsi. Teknik tersebut disebut Metode Newton, dan metode ini menggunakan garis singgung untuk mendekati perpotongan suatu grafik fungsi dengan sumbu-x.
Untuk melihat bagaimana Metode Newton bekerja, perhatikan suatu fungsi f yang kontinu pada selang [a, b] dan terdiferensialkan pada selang (a, b). Jika f(a) dan f(b) memiliki tanda yang berlawanan, maka berdasarkan Teorema Nilai Antara, f haruslah memiliki minimal satu pembuat nol pada selang (a, b). Untuk memperkirakan pembuat nol tersebut, kita pilih
seperti yang ditunjukkan Gambar (a). Metode Newton didasarkan pada asumsi bahwa grafik f dan garis singgungnya pada (x1, f(x1)) memotong sumbu-x kira-kira pada titik yang sama. Karena kita dengan mudah dapat menentukan titik potong garis singgung dengan sumbu-x, kita dapat menggunakan titik tersebut sebagai perkiraan kedua (dan biasanya lebih baik) untuk mendekati pembuat nol f. Garis singgung tersebut menyinggung pada titik (x1, f(x1)) dengan gradien f ’(x1). Persamaan garis yang melalui titik dan memiliki gradien tertentu dapat dituliskan
Dengan memisalkan y = 0 dan menyelesaikan persamaan tersebut ke dalam x menghasilkan
Sehingga, dari perkiraan awal x1, kita memperoleh perkiraan yang baru
Kita dapat memperbaiki x2 dan menghitung perkiraan yang ketiga
Pengulangan proses di atas disebut sebagai Metode Newton.
Metode Newton untuk Mendekati Pembuat Nol Suatu Fungsi
Misalkan f(c) = 0, dimana f terdiferensialkan pada selang buka yang memuat c. Maka, untuk mendekati c, kita lakukan langkah-langkah berikut.
- Buat perkiraan awal x1 yang dekat ke c. (Grafik fungsi bisa membantu).
- Tentukan perkiraan baru
- Jika |xn – xn + 1| masuk dalam akurasi yang diharapkan, maka xn + 1 merupakan perkiraan akhir. Jika tidak, kembali ke langkah 2 dan hitung perkiraan baru.
Masing-masing terapan berurutan prosedur ini disebut sebagai iterasi.
Contoh 1: Menggunakan Metode Newton
Hitunglah tiga iterasi Metode Newton untuk mendekati pembuat nol f(x) = x² – 2. Gunakan x1 = 1 sebagai perkiraan awal.
Pembahasan Karena f(x) = x² – 2, kita dapatkan f ’(x) = 2x, dan rumus iteratifnya adalah
Perhitungan tiga iterasi Metode Newton fungsi yang diberikan dapat ditunjukkan oleh tabel berikut.
Tentunya, dalam kasus ini kita tahu bahwa dua pembuat nol fungsi tersebut adalah ±√2. Dalam enam angka di belakang koma, √2 = 1,414214. Sehingga, kita menghasilkan suatu pendekatan yang berselisih 0,000002 dari akar sebenarnya. Iterasi pertama proses ini digambarkan oleh gambar di bawah.
Penerapan Turunan: Masalah Optimalisasi
Contoh 1: Menentukan Volume Terbesar
Suatu perusahaan ingin merancang suatu kotak terbuka yang memiliki alas persegi dan luas permukaan 108 cm², seperti yang ditunjukkan gambar di bawah. Berapakah panjang, lebar, dan tinggi kotak tersebut agar menghasilkan kotak dengan volume terbesar?
Pembahasan Karena kotak tersebut memiliki alas persegi, maka volumenya
Persamaan ini disebut sebagai persamaan primer karena persamaan tersebut memberikan rumus untuk nilai yang akan dioptimumkan. Luas permukaan kotak tersebut adalah,
Karena V akan dimaksimumkan, maka kita perlu menulis V hanya ke dalam satu variabel. Untuk itu, kita harus menyelesaikan persamaan 108 = x² + 4xt dalam t yang memuat variabel x. Sehingga dihasilkan t = (108 – x²)/(4x). Dengan mensubstitusi nilai t tersebut ke dalam persamaan primer, didapatkan
Sebelum menentukan nilai x mana yang dapat menyebabkan V maksimum, kita terlebih dulu harus menentukan domain fungsi V, yaitu nilai x yang masuk akal dalam masalah ini. Kita tahu bahwa V ≥ 0. Kita juga tahu bahwa nilai x yang masuk akal adalah nilai yang tidak negatif dan luas alas (A = x²) memiliki nilai maksimum 108, sehingga domain fungsi tersebut adalah
Untuk memaksimumkan V, kita tentukan nilai kritis fungsi V pada selang (0, √108).
Sehingga diperoleh nilai kritis x = ±6. Kita tidak perlu mempertimbangkan x = –6 karena terletak di luar domain. Kita tentukan nilai V pada nilai kritis dan kedua ujungnya, diperoleh V(0) = 0, V(6) = 108, dan V(√108) = 0. Jadi, V akan bernilai maksimum pada x = 6, dan ukuran kotak yang dimaksud adalah 6 cm × 6 cm × 3 cm.
Pada Contoh 1, kita menyadari bahwa terdapat tak hingga banyak kotak terbuka yang memiliki luas alas 108 cm². Untuk memulai menyelesaikan permasalahan tersebut, kita harus menanyakan kepada diri kita sendiri bentuk kotak yang seperti apa yang dapat menghasilkan volume maksimum. Apakah kotak panjang, pendek, atau kotak yang menyerupai kubus?
Kita bisa mencoba untuk menghitung beberapa volume, seperti yang ditunjukkan gambar di bawah, untuk memprediksi bentuk manakah yang menghasilkan volume maksimum. Ingat bahwa kita tidak siap untuk menyelesaikan masalah sampai kita dapat mengidentifikasi permasalahan tersebut.
Contoh 1 mengilustrasikan langkah-langkah dalam menyelesaikan permasalahan optimalisasi berikut.
Panduan Menyelesaikan Permasalahan Optimalisasi
- Identifikasi semua kuantitas yang diberikan dan semua kuantitas yang akan ditentukan. Jika mungkin, buatlah sketsa.
- Tulis persamaan primer untuk kuantitas yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan.
- Reduksi persamaan primer menjadi persamaan yang hanya memuat satu variabel bebas. Hal ini melibatkan persamaan kedua yang memuat variabel bebas persamaan primer.
- Tentukan domain persamaan primer. Sehingga kita harus menentukan semua nilai yang menyebabkan permasalahan yang diberikan masuk akal.
- Tentukan nilai maksimum atau minimum yang diinginkan dengan menggunakan teknik kalkulus.
Karakteristik suatu fungsi yang naik atau turun dapat kita gunakan untuk mendeskripsikan grafik fungsi tersebut. Selain itu, apabila kita tahu dimana letak selang yang membuat f ’ naik atau turun maka kita dapat menentukan di mana grafik fungsi f akan cekung ke atas atau cekung ke bawah.
Definisi Kecekungan
Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Grafik f akan cekung ke atas pada I jika f ’ naik pada selang tersebut dan akan cekung ke bawah pada I jika f ’ turun pada selang tersebut.
Interpretasi grafis kecekungan dari suatu fungsi berikut akan sangat berguna.
- Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Jika grafik f cekung ke atas pada I, maka grafik f berada di atas semua garis singgungnya pada selang tersebut. (Lihat gambar (a) di bawah).
- Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Jika grafik f cekung ke bawah pada I, maka grafik f berada di bawah semua garis singgungnya pada selang tersebut. (Lihat gambar (b) di bawah).
Untuk menemukan selang buka di mana suatu grafik fungsi f cekung ke atas atau cekung ke bawah, kita harus menemukan selang di mana f ’ naik atau turun. Sebagai contoh, grafik
akan terbuka ke bawah pada selang buka (–∞, 0) karena
turun pada selang tersebut. Demikian pula, grafik f akan cekung ke atas pada selang (0, ∞) karena f ’ naik pada selang tersebut. Perhatikan gambar di bawah.
Teorema berikutnya menunjukkan bagaimana penggunaan turunan kedua suatu fungsi untuk menentukan selang di mana grafik f tersebut cekung ke atas atau cekung ke bawah. Bukti teorema ini merupakan akibat langsung dari Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun, dan definisi kecekungan.
Teorema Uji Kecekungan
Misalkan f adalah suatu fungsi yang turunan keduanya ada pada selang buka I.
- Jika f ”(x) > 0 untuk semua x dalam I, maka grafik f cekung ke atas pada I.
- Jika f ”(x) < 0 untuk semua x dalam I, maka grafik f cekung ke bawah pada I.
Untuk menerapkan Teorema Uji Kecekungan, tentukan lokasi nilai-nilai x sedemikian sehingga f ”(x) = 0 atau f ” tidak ada. Gunakan nilai-nilai x tersebut untuk menentukan selang uji. Kemudian, ujilah tanda f ”(x) pada masing-masing selang uji.
Penerapan Turunan: Fungsi Naik dan Turun serta Uji Turunan Pertama
Definisi Fungsi Naik dan Turun
Suatu fungsi f dikatakan naik pada suatu selang jika untuk sembarang dua bilangan x1 dan x2 dalam selang tersebut, x1 < x2 mengakibatkan f(x1) < f(x2).
Suatu fungsi f dikatakan turun pada suatu selang jika untuk sembarang dua bilangan x1 dan x2 dalam selang tersebut, x1 < x2 mengakibatkan f(x1) > f(x2).
Suatu fungsi dikatakan naik jika x bergerak ke kanan, grafik fungsi tersebut bergerak ke atas, dan turun jika grafik fungsi tersebut bergerak ke bawah. Sebagai contoh, fungsi di samping naik pada selang (–∞, a), konstan pada selang (a, b), dan turun pada selang (b, ∞). Seperti yang ditunjukkan Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun di bawah ini, turunan positif akan mengakibatkan suatu fungsi akan naik, turunan negatif akan mengakibatkan fungsi tersebut turun, dan turunan nol pada seluruh selang akan mengakibatkan fungsi tersebut konstan pada selang tersebut.
Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun
Misalkan f adalah fungsi yang kontinu pada selang tutup [a, b] dan terdiferensialkan pada selang buka (a, b).
- Jika f ’(x) > 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f naik pada [a, b].
- Jika f ’(x) < 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f turun pada [a, b].
- Jika f ’(x) = 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f konstan pada [a, b].
Pembuktian
Kasus 1: Untuk membuktikan kasus pertama, anggap bahwa f ’(x) > 0 untuk semua x dalam selang (a, b) dan misalkan x1 < x2 adalah sembarang dua titik dalam selang tersebut. Berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata, kita tahu bahwa ada suatu bilangan c sedemikian sehingga x1 < c < x2, dan
Karena f ’(c) > 0 dan x2 – x1 > 0, maka f(x2) – f(x1) > 0, yang mengakibatkan bahwa f(x1) < f(x2). Jadi, f naik pada selang tersebut.
Kasus 2: Untuk kasus ini, kita dapat membuktikannya dengan menggunakan alur yang serupa dengan kasus 1.
Kasus 3: Misalkan f ’(x) = 0 untuk semua x dalam selang (a, b) dan misalkan x1 < x2 adalah sembarang duat titik dalam selang tersebut. Berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata, kita tahu bahwa ada suatu bilangan c sedemikian sehingga x1 < c < x2, dan
Karena f ’(c) = 0 maka f(x1) – f(x2) = 0, yang berakibat f(x1) = f(x2). Jadi, fungsi tersebut tidak naik ataupun tidak turun. Dengan kata lain, fungsi tersebut konstan pada selang tersebut.
Daftar Pustaka : https://yos3prens.wordpress.com/tag/penerapan-turunan/
https://yos3prens.wordpress.com/2015/06/17/penerapan-turunan-metode-newton/
https://yos3prens.wordpress.com/2015/06/16/penerapan-turunan-masalah-optimalisasi/
https://yos3prens.wordpress.com/2015/03/24/penerapan-turunan-kecekungan-dan-uji-turunan-kedua/
https://yos3prens.wordpress.com/2015/03/24/penerapan-turunan-fungsi-naik-dan-turun-serta-uji-turunan-pertama/
No comments:
Post a Comment