Monday, August 10, 2020

SOAL PENYELESAIANNYA MENGGUNAKAN MATRIKS

 

Nadya Febriana XI IPS 2



Soal determinan matriks berordo 3 x 3 dan 2 x 2  


    Pengertian Determinan Matriks

Determinan ialah sebuah nilai yang dapat di hitung dari unsur suatu matriks persegi. Determinan matriks A ditulis dengan tanda det( A ), det A, atau | A |. Determinan dapat di anggap sebagai faktor penskalaan transformasi yang digambarkan oleh matriks.



    Determinan Matriks Ordo 2 x 2

Apabila matriksnya berbentuk 2 x 2, maka rumus untuk mencari determinan ialah :

Rumus untuk mencari determinan 2 x 2
Rumus untuk mencari determinan 2 x 2.

Nilai determinan A di simbolkan dengan | A | , cara menghitung nilai determinan A dapat di lihat seperti cara yang di bawah ini :

Rumus untuk mencari determinan 2 x 2 (2)
Rumus untuk mencari determinan 2 x 2 (2)

    Determinan Matriks Ordo 3 x 3 

Matriks Ordo 3 ialah matriks bujur sangkar dengan banyaknya kolom dan baris sama dengan tiga. Bentuk umum matriks ordo 3 yakni seperti cara yang di bawah ini :

Bentuk umum matriks ordo 3 x 3
Bentuk umum matriks ordo 3 x 3

Apabila matriksnya berbentuk 3 x 3 matrix A, maka rumus untuk mencari determinan ialah :

Rumus untuk mencari determinan 3 x 3

    Contoh Soalnya

Soal No. 1

Hitunglah berapa nilai determinan dari matriks ordo 2 x 2 berikut ini :

Jawaban untuk matriks ordo 2 x 2 di atas ialah seperti berikut ini :

Soal No. 2

Hitunglah berapa nilai determinan dari matriks ordo 2 x 2 berikut ini :

Jawaban untuk matriks ordo 2 x 2 di atas ialah seperti berikut ini :

Soal No. 3

Hitunglah berapa nilai determinan dari matriks ordo 3 x 3 berikut ini :

Jawaban untuk matriks ordo 3 x 3 di atas ialah seperti berikut ini :

det( A ) = ( 2 . 4 . 1 ) + ( 3 . 3 . 7 ) + ( 4 . 5 . 0  ) – ( 4 . 4 . 7  ) – ( 2 . 3 . 0 ) – ( 3 . 5 . 1 ) 
               =      ( 8 )       +    ( 63 )     +       ( 0 )       –     ( 112 )     –      ( 0 )       –     15
               = – 56


Soal Kofaktor matriks berordo 3 x 3 dan 2 x 2


Dalam kofaktor, elemen minor matriks dapat bernilai positif dan negatif. Kofaktor dilambangkan dengan “Cij” dan dapat dihitung dengan rumus:

C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}

Contoh:

Kofaktor (C11)Kofaktor (C12)Kofaktor (C13)
\vspace{1pc} C_{11} = (-1)^{1+1}M_{11} \\ C_{11} = (-1)^{2} M_{11} = M_{11}\vspace{1pc} C_{12} = (-1)^{1+2}M_{12} \\ \vspace{1pc} C_{12} = (-1)^{3} M_{12} \\ \vspace{1pc} C_{12} = (-1) M_{12} = -M_{12}\vspace{1pc} C_{13} = (-1)^{1+3}M_{13} \\ \vspace{1pc} C_{13} = (-1)^{4} M_{13} \\ \vspace{1pc} C_{13} = M_{13}

Cara mudah untuk mengetahui nilai kofaktor, yaitu:

Jika i + j = bilangan genap maka kofaktor bernilai positif
Dan jika i + j = bilangan ganjil maka kofaktor bernilai negatif

Sebenarnya tanpa menghitung satu persatu kita bisa dengan mudah mengetahui tanda kofaktor matriks. Caranya cukup tuliskan tanda positif dan negatif secara bergantian di depan lambang minor.

C_{3\times3} = \begin{bmatrix} M_{11} & -M_{12} & M_{13} \\ -M_{21}& M_{22} & -M_{23} \\ M_{31}& -M_{32} & M_{33} \end{bmatrix}


Contoh Soalnya

hitunglah determinan matriks berikut dengan cara ekspansi kofaktor!

\large D = \begin{bmatrix} -2 &4 &-5 \\ 0 &0 &0 \\ -1 &4 &-8 \end{bmatrix}

Penyelesaian:

Ekspansi baris kedua

\vspace{1pc} \left | D \right | = -\begin{bmatrix} \vdots &4 &-5 \\ 0 &\cdots &\cdots \\ \vdots &4 &-8 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 &\vdots &-5 \\ \cdots &0 &\cdots \\ -1 &\vdots &-8 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -2 &4 &\vdots \\ \cdots &\cdots &0 \\ -1 &4 &\vdots \end{bmatrix}\\ \vspace{1pc} \left | D \right | =  -0 \begin{bmatrix} 4 &-5 \\ 4 &-8 \end{bmatrix} + 0 \begin{bmatrix} -2 &-5 \\ -1 &-8 \end{bmatrix} -0 \begin{bmatrix} -2 &4 \\ -1 &4 \end{bmatrix} \\ \vspace{1pc} \left | D \right |= 0

Ekspansi Kolom

Ekspansi kolom diawali dari setiap elemen baris pertama atau elemen dengan nilai i = 1 (a1j) dan arahnya bergerak menurun sepanjang jumlah baris matriks.

Rumus umum determinan ekspansi kolom:

\vspace{1pc} \left | A_{n\times n} \right |= a_{1j}C_{1j} + a_{2j}C_{2j} + \cdots + a_{nj}C_{nj} \\ \vspace{1pc}  \left | A_{n\times n} \right |= a_{1j}(-1)^{1+j}M_{1j} + a_{2j}(-1)^{2+j}M_{2j} + \cdots + a_{nj}(-1)^{n+j}M_{nj} \\ \left | A_{n\times n} \right |=  a_{1j}M_{1j} + a_{2j}M_{2j} + \cdots + a_{nj}M_{nj}

Kemudian tiga rumus determinan ekspansi kolom matriks 3×3, yaitu:

Ekspansi kolom pertama

\vspace{1pc} \left | A_{3\times 3} \right |=a_{11}M_{11}-a_{21}M_{21}+a_{31}M_{31} \\ \vspace{1pc} \left | A_{3\times 3} \right |=a_{11}\begin{bmatrix} a_{22} &a_{23} \\ a_{32} &a_{33}\end{bmatrix}-a_{21}\begin{bmatrix} a_{12} &a_{13} \\ a_{32} &a_{33} \end{bmatrix}+a_{31}\begin{bmatrix} a_{12} &a_{13} \\ a_{22} &a_{23}\end{bmatrix}

Ekspansi kolom kedua

\vspace{1pc} \left | A_{3\times 3} \right |=-a_{12}M_{12}+a_{22}M_{22}-a_{32}M_{32} \\ \vspace{1pc} \left | A_{3\times 3} \right |=-a_{12}\begin{bmatrix} a_{21} &a_{23} \\ a_{31} &a_{33}\end{bmatrix}+a_{22}\begin{bmatrix} a_{11} &a_{13} \\ a_{31} &a_{33} \end{bmatrix}-a_{32}\begin{bmatrix} a_{11} &a_{13} \\ a_{21} &a_{23}\end{bmatrix}

Ekspansi kolom ketiga

\vspace{1pc} \left | A_{3\times 3} \right |=a_{13}M_{13}-a_{23}M_{23}+a_{33}M_{33} \\ \vspace{1pc} \left | A_{3\times 3} \right |=a_{13}\begin{bmatrix} a_{21} &a_{22} \\ a_{31} &a_{32}\end{bmatrix}-a_{23}\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{31} &a_{32} \end{bmatrix}+a_{33}\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21} &a_{22}\end{bmatrix}

Berikut ini contoh perhitungan determinan matriks dengan salah satu rumus ekspansi kolom.

\large E = \begin{bmatrix} -2 &4 &-5 \\ 1 &3 &-7 \\ -1 &4 &0 \end{bmatrix}

Penyelesaian:

Ekspansi kolom ketiga

\vspace{1pc} \left | E \right |= \begin{bmatrix} \cdots &\cdots &-5 \\ 1 &3 &\vdots \\ -1 &4 &\vdots \end{bmatrix} -\begin{bmatrix} -2 &4 &\vdots \\ \cdots &\cdots &-7 \\ -1 &4 &\vdots \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 &4 &\vdots \\ 1 &3 &\vdots \\ \cdots &\cdots &0 \end{bmatrix} \\ \vspace{1pc} \left | E \right | = -5 \begin{bmatrix} 1 &3 \\ -1 &4 \end{bmatrix} -(-7) \begin{bmatrix} -2 &4 \\ -1 &4 \end{bmatrix} + 0 \begin{bmatrix} -2 &4 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \\ \vspace{1pc} \left | E \right | = -5[(1\times 4) - (3\times -1)] +7[(-2\times 4) - (4\times -1)] + 0 \\ \left | E \right | = -35-28=-63

Dua elemen nol

Pertama, dua elemen nol dalam dua baris atau kolom berbeda, cara perhitungan determinan sama dengan cara satu elemen nol. Jadi, gunakan saja ekspansi baris atau kolom seperti contoh diatas.

Kedua, dua elemen nol dalam kolom yang sama.


Soal invers matriks berordo 3 x 3 dan 2 x 2


1. Invers Matriks 2×2

Sebagai matriks B, kebalikan dari matriks B & supmin; ¹ ditulis. Sebelum kita membahas rumus matriks terbalik 2×2 dan mengatur 3×3 bersama dengan contoh masalah matriks terbalik.

Saya akan membagikan beberapa karakteristik inversi. Sifat-sifat dari matriks terbalik adalah sebagai berikut :

  • AA‾¹ = A‾¹A = I
  • AB‾¹ = B‾¹A‾¹
  • (A‾¹)‾¹ = A
  • Jika XA = B, maka X = BA-¹
  • Jika AX = b, maka X = A-¹B

Secara umum, rumus invers matriks dapat ditulis sebagai berikut :

rumus invers matriks

Keterangan :

  • A‾¹ =  Invers Matriks (A)
  • det (A) = Determinan Matriks (A)
  • Adj (A) = Adjoin Matriks (A)


Contoh Soalnya

Menentukan matriks invers dari!

contoh soal invers matriks

Jawaban :

Untuk menghitung kebalikan dari matriks, metode cepat digunakan. Sebelum menggunakan rumus matriks terbalik di atas. Pertama-tama kita harus menemukan nilai adjoin dahulu.

Untuk menemukan matriks invers 2×2 yang berdekatan, kita hanya perlu menukar atau memindahkan elemen yang posisinya ada di baris pertama kolom pertama dengan elemen-elemen di baris kedua kolom kedua.

Berikutnya, baris kedua dari kolom pertama dan baris pertama dari kolom kedua dikalikan dengan -1. Hasilnya adalah sebagai berikut.

jawaban soal invers matriks

Selanjutnya, cari determinan matriks
det = (2 × 6) – (4 × 1)
= 12 – 4
= 8

Setelah nilai adjoin dan determinan matriks diketahui. Kemudian masukkan rumus matriks di atas. Hasilnya adalah :

jawaban invers matriks

2. Invers Matriks 3×3

Rumus kebalikan dari matriks 3×3 sesuai dengan urutan 2×2 sebagai berikut :

rumus invers matriks 3x3

Hampir seperti dalam pencarian perkalian dari matriks 2×2 di atas, pertama-tama kita harus menemukan determinan untuk menemukan matriks invers 3×3. Penentu urutan 3×3 dapat dicari dengan dua metode:

  1. Metode Sarrus
  2. Metode Minor – Kofaktor

Secara umum, determinan terbalik dari matriks 3×3 lebih mudah untuk dihitung menggunakan metode Sarrus. Metodenya adalah sebagai berikut :

metode sarrus

Selanjutnya kita mencari matriks tetangga dalam rumus matriks terbalik. Untuk menghitung matriks yang berdekatan, pertama-tama kita perlu menentukan nilai matriks kofaktor.

Matriks kofaktor adalah matriks yang elemennya dimodifikasi oleh nilai-nilai determinan yang nilainya bukan kolom dan tidak selaras dengan elemen sumber.

Kemudian, sebagai alternatif, tanda positif atau negatif diberikan sebagai berikut :

invers matriks 3x3

Jadi, Anda lebih memahami rumus invers dari matriks 3×3. Saya akan memberikan contoh masalah yang berkaitan dengan rumus terbalik ini. Berikut adalah contoh masalah matriks terbalik.


Contoh Soalnya

Matriks A dikenal sebagai berikut :

contoh soal matriks 3x3

Menentukan kebalikan dari matriks di atas A!

Jawaban :

jawaban matriks 3x3



Daftar Pustaka :  https://rumusrumus.com/invers-matriks/
                            https://rumus.co.id/determinan-matriks/
                            https://penma2b.wordpress.com/2017/04/12/determinan-matriks-3x3-ekspansi-kofaktor/
Posted by at

No comments:

Post a Comment

Subscribe to: Post Comments (Atom)